Op 16 september 1956 debuteerde Swart voor Ajax in de oefenwedstrijd tegen OVVO. Hij vormde samen met Bennie Muller jarenlang het gezicht van de Amsterdamse club. Swart is de speler met de meeste wedstrijden in Ajax 1 achter zijn naam. Vandaar dat hij Mister Ajax wordt genoemd. In 2005 is zelfs een brug in de Amsterdamse wijk Park de Meer naar Swart vernoemd.

Johan Cruijff en Piet van Reenen zijn de enige spelers die meer doelpunten voor Ajax scoorde. Swart maakte deel uit van het 'Gouden Ajax' en kreeg in die tijd vaak de gelegenheid om te scoren voor de Amsterdamse club. Zo won hij onder andere drie keer de Europa Cup I met Ajax. In 1969 verloor hij zijn eerste finale met 1-4 van AC Milan.

Op 19 mei 1973 kwam Swart voor het laatst in actie voor Ajax 1. Daarna kwam hij nog regelmatig uit voor de amateurs van Ajax. Hij speelt nu nog geregeld in het gelegenheidsteam van Ajax.

Ajaxclub.nl wil Swart op deze manier bedanken voor alles wat hij gedaan heeft voor ons aller Ajax. Wij wensen hem in ieder geval een ontzettend fijne verjaardag toe.